La probabilité \(p=\frac{1}{100}\) étant faible, on peut appliquer la loi de Poisson d’espérance \(100p=1\) au nombre \(X\) de centenaires pris parmi cent personnes. On cherche donc: \(P[X\geq 1]=1-P[X=0]=1-e^{-1}\simeq 63\%\).

Sur un groupe de \(200\) personnes: l’espérance est 2 donc: \(P[X'\geq 1]=1-e^{-2}\simeq 86\%.\) La probabilité des événements : \([X' =1]\) et \([X' =2]\) sont les mêmes et valent: \(0.14\). Ainsi, sur 200 personnes, la probabilité de trouver exactement un centenaire vaut \(0.14\), égale à la probabilité de trouver exactement deux centenaires. Cette valeur correspond au maximum de probabilité pour une loi de Poisson d’espérance \(2\) et se généralise. Si \(X\) obeit à une loi de Poisson d’espérance \(K\), alors le maximum de probabilité est obtenu pour les événements \([X=K-1]\) et \([X=K].\)

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