\(4^{2^n}\) signifie \((...((4^2)^2)^2...)^2\). Etudions la suite de ces élévations au carré successives modulo \(7\). \(4^{2^0}=4\) est dans \(4+7\Zz\). \(4^{2^1}=16\) est dans \(2+7\Zz\). \(4^{2^2}=16^2=(7k+2)^2=4+7k'\) est dans \(4+7\Zz\)... Montrons par récurrence sur \(p\) entier naturel que : \(\forall p\in\Nn\), \(4^{2^{2p}}\) est dans \(4+7\Zz\) et \(4^{2^{2p+1}}\) est dans \(2+7\Zz\).

C’est vrai pour \(p=0\).

Soit \(p\geq0\). Si il existe deux entiers relatifs \(k_{2p}\) et \(k_{2p+1}\) tels que \(4^{2^{2p}}=4+7k_{2p}\) et \(4^{2^{2p+1}}=2+7k_{2p+1}\), alors :

\[4^{2^{2p+2}}=(4^{2^{2p+1}})^2=(2+7k_{2p+1})^2=4+7(4k_{2p+1}+7k_{2p+1}^2)\in4+7\Zz,\]

puis

\[4^{2^{2p+3}}=(4^{2^{2p+2}})^2=(4+7k_{2p+2})^2=16+28k_{2p+2}+49k_{2p+2}^2=2+7(2+4k_{2p+2}+7k_{2p+2}^2)\in2+7\Zz.\]

On a montré par récurrence que si \(n\) est pair, \(4^{2^n}\) est dans \(4+7\Zz\) et si \(n\) est impair, \(4^{2^n}\) est dans \(2+7\Zz\).

Ensuite \(2^{2^0}=2\) est dans \(2+7\Zz\) puis, pour \(n\geq1\), \(2^{2^n}=2^{2.2^{n-1}}=4^{2^{n-1}}\) est dans \(4+7\Zz\) si \(n-1\) est pair ou encore si \(n\) est impair et est dans \(2+7\Zz\) si \(n\) est pair. Ainsi, que \(n\) soit pair ou impair, \(4^{2^n}+2^{2^n}+1\) est dans \((4+2)+1+7\Zz=7+7\Zz=7\Zz\) et on a montré que :

\[\forall n\in\Nn,\;7|4^{2^n}+2^{2^n}+1.\]

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