Pour \(n\geqslant1\), posons \(a_n =\frac{1}{nC_{2n}^n}\). Pour \(n\in\Nn^*\),

\(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{n}{n+1}\times\frac{(2n)!}{(2n+2)!}\times\frac{(n+1)!^2}{n!^2}=\frac{n}{2(2n+1)}\)\((*)\).

Par suite, \(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}\frac{1}{4}\) et d’après la règle de d’Alembert, le rayon de la série entière considérée est \(R = 4\).

Pour \(x\in\left]-4,4\right[\), posons \(f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n\).

Les relations \((*)\) s’écrivent encore \(\forall n\in\Nn^*\), \(4(n+1)a_{n+1}-2a_{n+1}=na_n\).

Soit \(x\in]-4,4[\). On multiplie les deux membres de l’égalité précédente par \(x^{n+1}\) et on somme sur \(n\). On obtient

\(4x\sum_{n=1}^{+\infty}(n+1)a_{n+1}x^n-2\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n+1}x^{n+1}=x^2\sum_{n=1}^{+\infty}na_nx^{n-1}\),

ou encore \(x^2f'(x) =4x(f'(x)-a_1)-2(f(x)-a_1x)\) ou encore \(x(x-4)f'(x)+2f(x)=-x\)\((E)\). Soit \(I\) l’un des deux intervalles \(]-4,0[\) ou \(]0,4[\).Sur \(I\), l’équation \((E)\) s’écrit :

\(f'(x)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-4}\right)f(x)=-\frac{1}{x-4}\).

Une primitive sur \(I\) de la fonction \(a~:~x\mapsto\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-4}\right)\) est la fonction \(A~:~x\mapsto\frac{1}{2}(\ln|x-4|-\ln|x|)=\ln\sqrt{\frac{|x-4|}{|x|}}\).

\[\begin{align*}\ensuremath f\;\text{solution de}\;(E)\;\text{sur}\;I&\Leftrightarrow\forall x\in I,\;f'(x)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-4}\right)f(x)=-\frac{1}{x-4}\\ &\Leftrightarrow\forall x\in I,\;e^{A(x)}f'(x)+a(x)e^{A(x)}f(x)=\frac{1}{4-x}\sqrt{\frac{|x-4|}{|x|}}\\ &\Leftrightarrow\forall x\in I,\;(e^Af)'(x)=\frac{1}{\sqrt{|x(x-4)|}}\quad(*). \end{align*}\]

Déterminons une primitive de la fonction \(x\mapsto\frac{1}{\sqrt{|x(x-4)|}}\) sur \(I\).

Si \(I=]0,4[\), \(\frac{1}{\sqrt{|x(x-4)|}}=\frac{1}{\sqrt{x(4-x)}}=\frac{1}{\sqrt{4-(x-2)^2}}\) et une primitive de la fonction \(x\mapsto\frac{1}{\sqrt{|x(x-4)|}}\) sur \(I\) est la fonction \(x\mapsto\Arcsin\left(\frac{x-2}{2}\right)\). Puis

\[\begin{align*}\ensuremath f\;\text{solution de}\;(E)\;\text{sur}\;I&\Leftrightarrow\exists C\in\Rr/\;\forall x\in I,\;e^{A(x)}f(x)=\Arcsin\left(\frac{x-2}{2}\right)+C\\ &\Leftrightarrow\exists C\in\Rr/\;\forall x\in I,\;f(x)=\sqrt{\frac{x}{4-x}}\left(\Arcsin\left(\frac{x-2}{2}\right)+C\right). \end{align*}\]

Si \(I=]-4,0[\), \(\frac{1}{\sqrt{|x(x-4)|}}=\frac{1}{\sqrt{x(x-4)}}=\frac{1}{\sqrt{(2-x)^2-4}}\) et une primitive de la fonction \(x\mapsto\frac{1}{\sqrt{|x(x-4)|}}\) sur \(I\) est la fonction \(x\mapsto-\Argch\left(\frac{2-x}{2}\right)\). Puis

\[\begin{align*}\ensuremath f\;\text{solution de}\;(E)\;\text{sur}\;I&\Leftrightarrow\exists C'\in\Rr/\;\forall x\in I,\;e^{A(x)}f(x)=\Argch\left(\frac{2-x}{2}\right)+C'\\ &\Leftrightarrow\exists C'\in\Rr/\;\forall x\in I,\;f(x)=\sqrt{\frac{x}{x-4}}\left(-\Argch\left(\frac{2-x}{2}\right)+C'\right). \end{align*}\]

\(f\) doit être définie, continue et dérivable sur \(]-4,4[\) et en particulier dérivable en \(0\). Ceci impose \(\lim_{x \rightarrow 0^+}\Arcsin\left(\frac{x-2}{2}\right)+C=0\) (car sinon \(f(x)\underset{0^+}{\sim}C\sqrt{x}\)) et donc \(C=\frac{\pi}{2}\). Pour \(x\in]0,4[\), on a alors \(f(x)=\sqrt{\frac{x}{4-x}}\left(\frac{\pi}{2}-\Arcsin\left(\frac{2-x}{2}\right)\right)=\sqrt{\frac{x}{4-x}}\Arccos\left(\frac{2-x}{2}\right)\) ce qui reste vrai pour \(x=0\) par continuité..

De même, \(\lim_{x \rightarrow 0^-}-\Argch\left(\frac{2-x}{2}\right)+C'=0\) et donc \(C'=0\). On a montré que

\(\forall x\in]-4,4[,\;\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{nC_{2n}^n}x^n=\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{\frac{x}{4-x}}\Arccos\left(\frac{2-x}{2}\right)\;\text{si}\;x\in[0,4[\\ -\sqrt{\frac{x}{x-4}}\Argch\left(\frac{2-x}{2}\right)\;\text{si}\;x\in]-4,0] \end{array} \right.\).

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