L’application \(F\) est injective et différentiable car ses composantes le sont. On calcule \[X=_u=\frac{\partial F}{\partial u}=\begin{pmatrix}\sinh(u)\cos(v)\\ \sinh(u)\sin(v)\\ 1\end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad X_v=\frac{\partial F}{\partial v}=\begin{pmatrix}-\cosh(u)\sin(v)\\ \cosh(u)\cos(v)\\0\end{pmatrix}\] pour déterminer le rang de \(dF\), qui est donc \(2\). Par conséquent, l’image \(S\) de \(F\) est une surface régulière. On peut aussi déterminer \[G=\cosh^2 u\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}.\] On s’en sert aussi pour trouver un champs de vecteurs normaux unitaires différentiable \(N=\frac{1}{\cosh u}\begin{pmatrix}-\cos v\\-\sin v\\\sinh u \end{pmatrix}\). On peut ensuite, soit calculer \[W(X_u)=-dN\cdot X_u=-\frac{\partial N}{\partial u}=-(\cosh^{-2}u) X_u\] \[\text{ et } \quad W(X_v)=-dN\cdot X_v=-\frac{\partial N}{\partial u}=(\cosh^{-2}u) X_v\] et en déduire que les valeurs propres de l’endomorphisme de Weingarten \(W\) sont \(-\cosh^{-2}u\) et \(\cosh^{-2}u\). Donc, \(W\) est de demi-trace nulle, et la courbure moyenne de \(Im F\) est partout nulle.

On peut aussi calculer \(\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\), \(\frac{\partial^2 F}{\partial u\partial v}\) et \(\frac{\partial^2 F}{\partial u^2}\) pour obtenir \(H=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\). On calcule \(G^{-1}=\cosh^{-2} u\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}\) Donc \(W=G^{-1}H=\begin{pmatrix}-\cosh^{-2} u&0\\0&\cosh^{-2} u\end{pmatrix}\). Comme la demi-trace de \(W\) est nulle, la surface \(S\) est partout de courbure moyenne nulle.

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