Soit \(\lambda\in\Rr\). \(\mathcal{C}_\lambda\) est le support de l’arc paramétré \(t\mapsto\left( \begin{array}{c} t\\ \lambda te^{-t} \end{array} \right)\). \(\mathcal{C}_0\) est l’axe \((Ox)\) et donc \(C_0\) n’est pas défini, puis \(\mathcal{C}_{-\lambda}\) est la symétrique de \(\mathcal{C}_\lambda\) par rapport à l’axe \((Ox)\) et donc \(C_{-\lambda}\) est le symétrique de \(C_\lambda\) par rapport à l’axe \((Ox)\). Dans ce qui suit, on suppose \(\lambda>0\).

\(\overrightarrow{\frac{dM}{dt}}=\left( \begin{array}{c} 1\\ \lambda(1-t)e^{-t} \end{array} \right)\).

Par suite \(\frac{ds}{dt}=\sqrt{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}\), \(\overrightarrow{\tau}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}}\left( \begin{array}{c} 1\\ \lambda(1-t)e^{-t} \end{array} \right)\),

\(\overrightarrow{n}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}}\left( \begin{array}{c} -\lambda(1-t)e^{-t}\\ 1 \end{array} \right)\) et on peut prendre \(\alpha(t)=\Arccos\left(\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}}\right)\) (car \(\overrightarrow{\tau}(t)\) a une abscisse strictement positive). Ensuite,

\(\frac{d\alpha}{dt}=\frac{\lambda^2((2t-2)-2(t-1)^2)e^{-2t}}{2(1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t})^{3/2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{1+\lambda^2(1-t)^2e^{-2t}}}}\)

et donc \(\frac{d\alpha}{dt}(0)=\frac{-4\lambda^2}{2(1+\lambda^2)^{3/2}}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{1+\lambda^2}}}=\frac{-2\lambda}{1+\lambda^2}\) puis \(R(0)=\frac{ds/dt}{d\alpha/dt}(0)=-\frac{1}{2\lambda}(1+\lambda^2)^{3/2}\) et donc

\(C_\lambda=\Omega(0)=M(0)+R(0)\overrightarrow{n}(0)=O-\frac{1}{2\lambda}(1+\lambda^2)^{3/2}\frac{1}{\sqrt{1+\lambda^2}}\left( \begin{array}{c} -\lambda\\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} (1+\lambda^2)/2\\ -(1+\lambda^2)/(2\lambda) \end{array} \right).\)

L’ensemble des \(C_\lambda\), \(\lambda\in\Rr^*\), est le support de l’arc \(\lambda\mapsto\left( \begin{array}{c} (1+\lambda^2)/2\\ -(1+\lambda^2)/(2\lambda) \end{array} \right)\), \(\lambda\in\Rr^*\).

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