Les éléments de \(A_n\) sont les produits pairs de transpositions. Il suffit donc de vérifier qu’un produit de deux transpositions est un produit de cycles de longueur \(3\).

Soient \(i\), \(j\) et \(k\) trois éléments deux à deux distincts de \(\{1,...,n\}\). \(\tau_{i,k}\circ\tau_{i,j}\) est le \(3\)-cycle : \(i\rightarrow j\) \(j\rightarrow k\) \(k\rightarrow i\), ce qui montre qu’un \(3\)-cycle est pair et que le produit de deux transpositions dont les supports ont en commun un singleton est un \(3\)-cycle.

Le cas \(\tau_{i,j}\circ\tau_{i,j}=Id=(2 3 1)(3 1 2)\) est immédiat. Il reste à étudier le produit de deux transpositions à supports disjoints.

Soient \(i\), \(j\), \(k\) et \(l\) quatre éléments de deux à deux distincts de \(\{1,...,n\}\).

\[\tau_{i,j}\circ\tau_{k,l}=(j i k l)(i j l k)=(j i l k)=(j k i l)(l j i k).\]

Donc, \(\tau_{i,j}\circ\tau_{k,l}\) est un bien un produit de \(3\)-cycles ce qui achève la démonstration.

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