Pour tout \(\beta\in\mathbb{R}\), on considère la suite définie pour tout \(n \geq 1\) par : \[v_n^{(\beta)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{n^\beta}.\] On s’intéresse à la nature de la série de terme général \(v_n^{(\beta)}\) suivant les valeurs du paramètre \(\beta\) : \[\sum_{n\ge 1}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{n^\beta}.\]
1
Montrer que, pour tout \(n\ge 1\), on a \(v_n^{(\beta)}\ge 0\).
2
Montrer que pour tout \(n\geq 1\), \[v_n^{(\beta)}=\frac{1}{n^\beta(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}.\]
3
En déduire un équivalent de \(v_n^{(\beta)}\) lorsque \(n\to+\infty\).
4
Déterminer, suivant les valeurs du paramètre \(\beta\), la nature de la série \[\sum_{n\ge 1}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{n^\beta}.\]