Soit \(G\) un groupe d’ordre \(p^2q\) qu’on suppose simple. On distingue deux cas:

: \(p>q\). Le nombre de \(p\)-Sylow de \(G\) est \(\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ p]\) et divise \(q\). Comme \(G\) est simple, ce ne peut être \(1\) (car sinon l’unique \(p\)-Sylow serait distingué). Il y a donc \(q\) \(p\)-Sylow d’ordre \(p^2\), lesquels sont conjugués. L’action par conjugaison de \(G\) sur ces \(q\) \(p\)-Sylow définit un morphisme \(G \rightarrow S_q\) non trivial (car l’action est transitive) et donc injectif puisque le noyau, distingué et \(\not=G\), est forcément trivial. On en déduit que \(p^2q\) divise \(q!\) et donc \(p\) divise un entier entre \(1\) et \(q-1\), ce qui contredit l’hypothèse \(p>q\).

: \(p<q\). Le nombre de \(q\)-Sylow de \(G\) est \(\equiv 1\ [\hbox{\rm mod}\ q]\) et divise \(p^2\). Comme ci-dessus, \(G\) étant simple, ce ne peut être \(1\). Ce ne peut-être ni \(p\) ni \(p^2\). En effet, dans le cas contraire, \(p\) serait \(\equiv \pm 1\ [\hbox{\rm mod}\ q]\) et donc \(p\geq q-1\). Comme \(p<q\), la seule possibilité est \(p=q-1\) et donc \(p=2\) et \(q=3\). Dans ce dernier cas, il y a \(4\) \(3\)-Sylow d’ordre \(3\) qui contiennent \(8\) éléments d’ordre \(3\). Ne reste de la place que pour un seul \(2\)-Sylow qui devrait être distingué. Ce dernier cas n’est donc lui non plus pas possible.

Conclusion: il n’existe pas de groupe \(G\) simple d’ordre \(p^2q\).

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