Repère de \((D)\).

\(\left\{ \begin{array}{l} x-z-a=0\\ y+3z+1=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=a+z\\ y=-1-3z \end{array} \right.\).

\((D)\) est la droite passant par \(A(a,-1,0)\) et dirigée par \(u(1,-3,1)\). Repère de \((D')\).

\(\left\{ \begin{array}{l} x+2y+z-2b=0\\ 3x+3y+2z-7=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} 2y+z=2b-x\\ 3y+2z=7-3x \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} y=4b-7+x\\ z=14-6b-3x \end{array} \right.\)

\((D')\) est la droite passant par \(A'(0,4b-7,-6b+14)\) et dirigée par \(u'(1,1,-3)\). Les vecteurs \(u\) et \(u'\) ne sont pas colinéaires et donc \((D)\) et \((D')\) ne sont pas parallèles. Le plan \((P)\) contenant \((D)\) et parallèle à \((D')\) est le plan de repère \((A,u,u')\). Déterminons une équation de ce plan.

\(M(x,y,z)\in(P)\Leftrightarrow \left| \begin{array}{ccc} x-a&1&1\\ y+1&-3&1\\ z&1&-3 \end{array}\right|=0\Leftrightarrow 8(x-a)+4(y+1)+4z=0\Leftrightarrow2x+y+z=2a-1\).

Enfin, \((D)\) et \((D')\) sont sécantes si et seulement si \((D')\) est contenue dans \((P)\). Comme \((D')\) est déjà parallèle à \((P)\), on a

\((D)\) et \((D')\) sécantes \(\Leftrightarrow A'\in(P)\Leftrightarrow(4b-7)+(-6b+14)=2a-1\Leftrightarrow b=-a+4\).

\((D)\) et \((D')\) sont sécantes si et seulement si \(b=-a+4\) et dans ce cas, une équation du plan contenant \((D)\)

et \((D')\) est \(2x+y+z=2a-1\).

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