1
Soit \((G,.)\) un groupe. Montrer l’équivalence de:
2
i) \(G\) est abélien.
3
ii) Pour tout \(a,b\in G\), on a: \((ab)^{2}=a^{2}b^{2}\).
4
iii) Pour tout \(a,b\in G\), on a: \((ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}\).
5
iv) L’application \(f\) de \(G\) dans \(G\) définie par \(f(x)=x^{-1}\) est un automorphisme.
6
En déduire que si pour tout \(x\in G\), \(x^{2}=e\), alors \(G\) est abélien.