\(f(\sh y) = e^{y/2}\) d’où l’équation différentielle : \((1+x^2)f''(x) + xf'(x) = \frac14f(x)\).

En posant \(f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n\) on obtient \(4(k+1)(k+2)a_{k+2} = -(2k+1)(2k-1)a_k\) avec \(a_0 = f(0) = 1\) et \(a_1 = f'(0) = \frac12\), d’où \(a_{2p} = \frac{(-1)^{p+1}C_{4p-2}^{2p-1}}{p2^{4p}}\) si \(p\ge 1\) et \(a_{2p+1} = \frac{(-1)^pC_{4p}^{2p}}{2^{4p+1}(2p+1)}\) si \(p\ge 0\).

Le rayon de convergence de la série correspondante est 1, ce qui valide la méthode (avec le théorème d’unicité de Cauchy-Lipschitz).

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