On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \[f(x,y)=(x-2)^2+4(y+1)^2.\] Dans les dessins demandés, on prendra la même unité sur les deux axes.
1
Déterminer, sans dériver, le minimum global de \(f\) et le point où il est atteint.
2
Décrire puis tracer les courbes de niveau \(f(x,y)=1\) et \(f(x,y)=4\).
3
Calculer \(\nabla f(0,0)\). Donner une direction de plus forte décroissance de \(f\) au point \((0,0)\) et la représenter sur le dessin.
4
Au voisinage de \((0,0)\), comparer l’effet d’un petit déplacement horizontal et d’un petit déplacement vertical de même longueur sur la valeur de \(f\).