On peut supposer sans perte de généralité que \(f\circ g\circ h\) et \(g\circ h\circ f\) sont injectives et que \(h\circ f\circ g\) est surjective. D’après l’exercice [exo:suprou8], puisque \(f\circ g\circ h=(f\circ g)\circ h\) est injective, \(h\) est injective et puisque \(h\circ f\circ g=h\circ(f\circ g)\) est surjective, \(h\) est surjective. Déjà \(h\) est bijective. Mais alors, \(h^{-1}\) est surjective et donc \(f\circ g=h^{-1}\circ(h\circ f\circ g)\) est surjective en tant que composée de surjections. Puis \(h^{-1}\) est injective et donc \(f\circ g=(f\circ g\circ h)\circ h^{-1}\) est injective. \(f\circ g\) est donc bijective. \(f\circ g\) est surjective donc \(f\) est surjective. \(g\circ h\circ f\) est injective donc \(f\) est injective. Donc \(f\) est bijective. Enfin \(g=f^{-1}\circ(f\circ g)\) est bijective en tant que composée de bijections.

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