Soit \(P\) un polynôme non nul à coefficients réels.

Pour tout réel \(x\), on peut écrire

\[P(x)=\lambda\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i}\prod_{j=1}^{l}((x-z_j)(x-\overline{z_j}))^{\beta_j},\]

où \(\lambda\) est un réel non nul, \(k\) et \(l\) sont des entiers naturels, les \(a_i\) sont des réels deux à deux distincts, les \(\alpha_i\) et les \(\beta_i\) des entiers naturels et les \((x-z_j)(x-\overline{z_j})\) des polynômes deux à deux premiers entre eux à racines non réelles.

Tout d’abord, pour tout réel \(x\), \(\prod_{j=1}^{l}((x-z_j)(x-\overline{z_j}))^{\beta_j}>0\) (tous les trinomes du second degré considérés étant unitaires sans racines réelles.)

Donc, \((\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0)\Leftrightarrow(\forall x\in\Rr,\;\lambda\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i}\geq0)\).

Ensuite, si \(\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0\), alors \(\lim_{x\rightarrow +\infty}P(x)\geq0\) ce qui impose \(\lambda>0\). Puis, si un exposant \(\alpha_i\) est impair, \(P\) change de signe en \(a_i\), ce qui contredit l’hypothèse faite sur \(P\). Donc, \(\lambda>0\) et tous les \(\alpha_i\) sont pairs. Réciproquement, si \(\lambda>0\) et si tous les \(\alpha_i\) sont pairs, alors bien sûr, \(\forall x\in\Rr,\;P(x)\geq0\).

Posons \(A=\sqrt{\lambda}\prod_{i=1}^{k}(x-a_i)^{\alpha_i/2}\). \(A\) est un élément de \(\Rr[X]\) car \(\lambda>0\) et car les \(\alpha_i\) sont des entiers pairs. Posons ensuite \(Q_1=\prod_{j=1}^{l}(x-z_j)^{\beta_j}\) et \(Q_2=\prod_{j=1}^{l}(x-\overline{z_j})^{\beta_j}\). \(Q_1\) admet après développement une écriture de la forme \(Q_1=B+iC\) où \(B\) et \(C\) sont des polynômes à coefficients réels. Mais alors, \(Q_2=B-iC\). Ainsi, \[P=A^2Q_1Q_2=A^2(B+iC)(B-iC)=A^2(B^2+C^2)=(AB)^2+(AC)^2=R^2+S^2,\]

où \(R\) et \(S\) sont des polynômes à coefficients réels.

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