Soient \(x\) et \(y\) deux entiers naturels tels que \(3x^3+xy+4y^3=349\). On a \(4y^3\leq 3x^3+xy+4y^3=349\) et donc

\[y\leq\sqrt[3]{\frac{349}{4}}=4,4...\]

Donc, \(y\in\{0,1,2,3,4\}\). De même, \(3x^3\leq 3x^3+xy+4y^3=349\) et donc

\[x\leq\sqrt[3]{\frac{349}{3}}=4,8...\]

Donc, \(x\in\{0,1,2,3,4\}\) ce qui ne laisse plus que \(5.5=25\) couples candidats. Ensuite,

\(y=0\) donne \(3x^3=349\) qui ne fournit pas de solutions.

\(y=1\) donne \(3x^3+x-345=0\), équation dont aucun des entiers de \(0\) à \(4\) n’est solution.

\(y=2\) donne \(3x^3+2x-317=0\), équation dont aucun des entiers de \(0\) à \(4\) n’est solution.

\(y=3\) donne \(3x^3+3x-241=0\), équation dont aucun des entiers de \(0\) à \(4\) n’est solution.

\(y=4\) donne \(3x^3+4x-93=0\) dont seul \(x=3\) est solution.

\[\mathcal{S}=\{(3,4)\}.\]

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