Soit \(n\geq5\). De chaque sommet part \(n-1\) droites (vers les \(n-1\) autres sommets) dont \(2\) sont des cotés et \(n-3\) des diagonales. Comme chaque diagonale passe par 2 sommets , il y a \(\frac{n(n-3)}{2}\) diagonales.

Ces diagonales se recoupent en \(C_{n(n-3)/2}^2\) points distincts ou confondus. Dans ce décompte, chaque sommet a été compté autant de fois que l’on a choisi une paire de deux diagonales passant par ce sommet à savoir \(C_{n-3}^2\). Maintenant, il y a \(n\) sommets.

Réponse : \[\begin{align*}\ensuremath C_{n(n-3)/2}^2-nC_{n-3}^2&=\frac{1}{2}\frac{n(n-3)}{2}(\frac{n(n-3)}{2}-1)-n\frac{(n-3)(n-4)}{2}=\frac{n(n-3)}{8}(n(n-3)-2-4(n-4))\\ &=\frac{n(n-3)}{8}(n^2-7n+14) \end{align*}\]

Les diagonales se recoupent en \(\frac{n(n-3)(n^2-7n+14)}{8}\) points distincts ou confondus et distincts des sommets (ou encore en \(\frac{n(n-3)(n^2-7n+14)}{8}\) points au maximum).

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