Soit \(f\) une application de \(\Nn\) dans lui-même, injective. Montrons que \(\lim_{n\rightarrow +\infty}f(n)=+\infty\).

Soient \(A\) un réel puis \(m=\mbox{Max}(0,1+E(A))\).

Puisque \(f\) est injective, on a \(\mbox{card}(f^{-1}(\{0,1,...,m\})\geq m+1\). En particulier, \(f^{-1}(\{0,1,...,m\})\) est fini (éventuellement vide).

Posons \(n_0=1+\left\{ \begin{array}{l} 0\;\mbox{si}\;f^{-1}(\{0,1,...,m\})=\emptyset\\ \mbox{Max}f^{-1}(\{0,1,...,m\})\;\mbox{sinon} \end{array} \right.\).

Par définition de \(n_0\), si \(n\geq n_0\), \(n\) n’est pas élément de \(f^{-1}(\{0,1,...,m\})\) et donc \(f(n)>m>A\).

On a montré que \(\forall A\in\Rr,\;\exists n_0\in\Nn/\;(\forall n\in\Nn),\;(n\geq n_0\Rightarrow f(n)>A)\) ou encore \(\lim_{n\rightarrow +\infty}f(n)=+\infty\).

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