Posons \(f(x,y)=x^4+y^3-x^2-y^2+x-y\), \(f(0,0)=0\) et \(f(1,1)=0\). \(\mathbb{R}\) est un espace de Banach et \(f\) est de classe \(C^1\) car polynomiale. \[\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-2y-1\] Étude au point \((0,0)\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1\), c’est un isomorphisme de \(\mathbb{R}\). Nous sommes dans les conditions d’application du théorème des fonctions implicites. Il existe \(I\) contenant \(0\), \(J\) contenant \(0\) et \(g: I \rightarrow J\), \(C^1\) tel que \(g(0)=0\) et \(f(x,g(x))=0, \forall x \in I\). On a \[x^4+(g(x))^3-x^2-(g(x))^2+x-g(x)=0\] En dérivant on obtient: \[4x^3+3g^2(x)g'(x)-2x-2g(x)g'(x)+1-g'(x)=0\] d’où \(g'(0)=1\). On dérive encore: \[12x^2+6g(x)g'(x)^2+3g^2(x)g''(x)-2-2g'(x)^2-2g(x)g''(x)-g''(x)=0\] d’où \[g''(0)=-4.\] Étude au point \((1,1)\), \(\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=0\). Ce n’est plus un difféo, on ne peut pas appliquer le théorème des fonctions implicites. Dans ce cas, on prend la dérivée par rapport à la premìère variable. \[\frac{\partial f}{\partial x}=4x^3-2x+1\] et donc \(\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=3\). Donc, d’après le théorème des fonctions implicites, il existe \(I\) contenant \(1\), \(J\) contenant \(1\) et \(g:I \rightarrow J\) de classe \(C^1\) tels que \(g(1)=1\) et \(f(g(x),x)=0, \forall y \in I\). On a \[g(y)^4-g^2(y)+g(y)+y^3-y^2-y=0\] En dérivant \[4g^3g'-2gg'+g'+3y^2-2y-1=0\] d’où \(4g'(1)-g'(1)=0\) et donc \(g'(1)=0\). \[12g^2(g')^2+4g^3g''-2gg''-2(g')^2+g''+6y-2=0\] d’où \(g''(1)=-4/3\).

exo7 2545