Soit \(A =\left( \begin{array}{ccc} 1&3&-7\\ 2&6&-14\\ 1&3&-7 \end{array} \right)\). \(A\) est de rang \(1\) et donc admet deux valeurs propres égales à \(0\) . \(\text{Tr}A = 0\) et donc la troisième valeur propre est encore \(0\). Donc \(\chi_A = -X^3\). \(A\) est nilpotente et le calcul donne \(A^2 = 0\). Ainsi, si \(X\) est une matrice telle que \(X^2 = A\) alors \(X\) est nilpotente et donc \(X^3=0\).

Réduction de \(A\). \(A^2 = 0\). Donc \(\text{ImA}\subset\text{Ker}A\). Soit \(e_3\) un vecteur non dans \(\text{Ker}A\) puis \(e_2=Ae_3\). \((e_2)\) est une base de \(\text{Im}A\) que l’on complète en \((e_1,e_2)\) base de \(\text{Ker}A\).

\((e_1,e_2,e_3)\) est une base de \(\mathcal{M}_{3,1}(\Cc)\) car si \(ae_1 + be_2 + ce_3 = 0\) alors \(A(ae_1 + be_2 + ce_3) = 0\) c’est-à-dire \(c e_2 = 0\) et donc \(c = 0\). Puis \(a = b = 0\) car la famille \((e_1,e_2)\) est libre.

Si \(P\) est la matrice de passage de la base canonique de \(\mathcal{M}_{3,1}(\Cc)\) à la base \((e_1,e_2,e_3)\) alors \(P^{-1}AP=\left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array} \right)\). On voit peut prendre \(P=\left( \begin{array}{ccc} 3&-7&0\\ -1&-14&0\\ 0&-7&1 \end{array} \right)\).

Si \(X^2 = A\), \(X\) commute avec \(A\) et donc \(X\) laisse stable \(\text{Im}A\) et \(\text{Ker}A\). On en déduit que \(Xe_2\) est colinéaire à \(e_2\) et \(Xe_1\) est dans \(\text{Vect}(e_1,e_2)\). Donc \(P^{-1}XP\) est de la forme \(\left( \begin{array}{ccc} a&0&d\\ b&c&e\\ 0&0&f \end{array} \right)\). De plus, \(X\) est nilpotente de polynôme caractéristique \((a-\lambda)(c-\lambda)(f-\lambda)\). On a donc nécessairement \(a =c =f=0\). \(P^{-1}XP\) est de la forme \(\left( \begin{array}{ccc} 0&0&b\\ a&0&c\\ 0&0&0 \end{array} \right)\).

Enfin, \(X^2=A\Leftrightarrow\left( \begin{array}{ccc} 0&0&b\\ a&0&c\\ 0&0&0 \end{array} \right)^2=\left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{array} \right)\Leftrightarrow ab = 1\).

Les matrices \(X\) solutions sont les matrices de la forme \(P\left( \begin{array}{ccc} 0&0&\frac{1}{a}\\ a&0&b\rule{0mm}{4mm}\\ 0&0&0 \end{array} \right)P^{-1}\) où \(a\) est non nul et \(b\) quelconque.

On trouve \(P^{-1}=\frac{1}{49}\left( \begin{array}{ccc} 14&-7&0\\ -1&-3&0\\ -7&-21&49 \end{array} \right)\) puis

\[\begin{align*}\ensuremath X&=\frac{1}{49}\left( \begin{array}{ccc} 3&-7&0\\ -1&-14&0\\ 0&-7&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 0&0&\frac{1}{a}\\ a&0&b\rule{0mm}{4mm}\\ 0&0&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 14&-7&0\\ -1&-3&0\\ -7&-21&49 \end{array} \right)\\ &=\frac{1}{49}\left( \begin{array}{ccc} -7a&0&\frac{3}{a}-7b\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-14&0&-\frac{1}{a}-14b\\ -7a&0&-7b \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 14&-7&0\\ -1&-3&0\\ -7&-21&49 \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{ccc} -2a-\frac{3}{7a}+b&a-\frac{9}{7a}+3b&\frac{3}{a}-7b\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-4a+\frac{1}{7a}+2b1&2a+\frac{3}{7a}+6b&-\frac{1}{a}-14b\\ -2a+b&a+3b&-7b \end{array} \right),\;(a,b)\in\Cc^*\times\Cc. \end{align*}\]

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