Soit \(A=\sum_{M\in G}^{}M\). Alors \(A^2=\sum_{(M,N)\in G^2}^{}MN\).

Soit \(M\in G\) fixée. Considérons l’application \(\varphi\) de \(G\) dans \(G\) qui à un élément \(N\) de \(G\) associe \(MN\). Puisque \(G\) est stable pour le produit, \(\varphi\) est bien une application. Plus précisément, \(\varphi\) est une permutation de \(G\) car l’application \(\psi\) de \(G\) dans lui-même qui à un élément \(N\) de \(G\) associe \(M^{-1}N\) vérifie \(\psi\circ\varphi=\varphi\circ\psi=Id_G\). On en déduit que

\(A^2=\sum_{M\in G}^{}\left(\sum_{N\in G}^{}MN\right)=\sum_{M\in G}^{}A=pA\) où \(p=\text{card}(G)\).

Finalement, la matrice \(P=\frac{1}{p}A\) est idempotente car \(\left(\frac{1}{p}A\right)^2=\frac{1}{p^2}pA=\frac{1}{p}A\). Comme \(A\) est une matrice de projection, on sait que \(\text{rg}P=\text{Tr}P =\sum_{M\in G}^{}\text{Tr}M=0\) et donc \(P=0\) ou encore \(\sum_{M\in G}^{}M= 0\).

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