Comme une isométrie est affine, elle conserve les barycentres. Soit \(P\) un sommet du triangle. Comme ce n’est pas un barycentre d’autres points du triangle, son image par une isométrie fixant le triangle non plus, c’est-à-dire que son image est un sommet. On en déduit que les sommets sont envoyés sur les sommets.

Dans la suite on suppose que \(ABC\) est isocèle en \(A\). Soit \(f\) une isométrie de \(ABC\). Comme une isométrie conserve les angles non orientés et que le triangle est isocèle en \(A\) et non équilatéral, on en déduit que \(B\) et \(C\) sont envoyés soit sur \(B\) soit sur \(C\). Le point \(A\) est donc fixe.

Comme une application affine est déterminée par l’image de trois points non alignés, on conclut que le triangle \(ABC\) n’admet que deux isométries : l’identité, et la réflexion \(\sigma\) suivante la médiatrice de \([BC]\).

Le groupe \({\rm Isom}(\mathcal T)\) est donc de cardinal deux, donc isomorphe à \(\Z/2\Z\).

(Un isomorphisme est donné par \(\phi : \Z/2\Z \to {\rm Isom}(\mathcal T)\) l’application qui envoie \([0]=2\Z\) sur l’identité et \([1]=1+2\Z\) sur \(\sigma\). C’est une bijection, et on vérifie que c’est un isomorphisme de groupes.)

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