\((\Gamma)\) est l’intersection d’un cylindre parabolique de direction \((Oz)\) et d’un plan non perpendiculaire à la direction de ce cylindre. On choisit un repère orthonormé \(\mathcal{R}'=(\Omega,X,Y,Z)\) dans lequel le plan d’équation \(x+y+z-1= 0\) dans le repère \(\mathcal{R}=(O,x,y,z)\) soit le plan \((\Omega,X,Y)\) ou encore le plan d’équation \(Z=0\) dans le repère \(\mathcal{R}'\).

On pose donc \(Z =\frac{1}{\sqrt{3}}(x+y+z-1)\) puis par exemple \(X =\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y)\) et \(Y=\frac{1}{\sqrt{6}}(x+y-2z)\) ce qui s?écrit

\(\left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ Z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&-\frac{2}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\)

ou encore

\(\left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} X\\ Y\\ Z \end{array} \right)+\left( \begin{array}{c} \frac{1}{3}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{array} \right)\)

Dans le repère \(\mathcal{R}'\), la courbe \((\Gamma)\) admet pour système d’équations

\(\left\{ \begin{array}{l} -\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{\sqrt{3}}Z+\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{\sqrt{3}}Z+\frac{1}{3}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{\sqrt{3}}Z+\frac{1}{3}\right)+ 1\\ Z=0 \end{array} \right.\)

ou encore

\(\left\{ \begin{array}{l} -\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}\right)+ 1\\ Z=0 \end{array} \right.\).

Continuons à deux coordonnées \(X\) et \(Y\) dans le plan \((\Omega,X,Y)\).

\[\begin{align*}\ensuremath M(X,Y)\in(\Gamma)&\Leftrightarrow-\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}\right)^2 +\left(\frac{1}{\sqrt{2}}X+\frac{1}{\sqrt{6}}Y+\frac{1}{3}\right)+ 1\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{6}(\sqrt{3}X+Y)^2 + \frac{2}{3\sqrt{6}}(\sqrt{3}X+Y)+\frac{1}{9}+\sqrt{2}X+1=0\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{6}(\sqrt{3}X+Y)^2+\frac{4\sqrt{2}}{3}X+\frac{2}{3\sqrt{6}}Y+\frac{10}{9}=0\\ &\Leftrightarrow(\sqrt{3}X+Y)^2+8\sqrt{2}X+\frac{2\sqrt{6}}{3}Y+\frac{20}{3}=0. \end{align*}\]

On trouve déjà une conique du genre parabole. On pose maintenant \(x'=\frac{1}{2}(\sqrt{3}X+Y)\) et \(y'=\frac{1}{2}(-X+\sqrt{3}Y)\) correspondant aux formules de changement de repère \(\left\{ \begin{array}{l} x'=\frac{1}{2}(\sqrt{3}X+Y)\\ \rule{0mm}{6mm}y'=\frac{1}{2}(-X+\sqrt{3}Y) \end{array} \right.\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} X=\frac{1}{2}(\sqrt{3}x'-y')\\ \rule{0mm}{6mm}Y=\frac{1}{2}(x'+\sqrt{3}y') \end{array} \right.\).

Dans le repère \((\Omega,x',y')\), une équation de la courbe \((\Gamma)\) est

\[\begin{align*}\ensuremath (\sqrt{3}X+Y)^2+8\sqrt{2}X+\frac{2\sqrt{6}}{3}Y+\frac{20}{3}=0&\Leftrightarrow4x'^2+4\sqrt{2}(\sqrt{3}x'-y')+\frac{\sqrt{6}}{3}(x'+\sqrt{3}y')+\frac{20}{3}=0\\ &\Leftrightarrow x'^2+\frac{13}{2\sqrt{6}}x'-\frac{3}{2\sqrt{2}}y'+\frac{5}{3}=0\\ &\Leftrightarrow\left(x'+\frac{13}{4\sqrt{6}}\right)^2-\frac{3}{2\sqrt{2}}y'+\frac{5}{3}-\frac{169}{96}=0\Leftrightarrow\left(x'+\frac{13}{4\sqrt{6}}\right)^2=\frac{3}{2\sqrt{2}}\left(y'+\frac{1}{8\sqrt{2}}\right). \end{align*}\]

\((\Gamma)\) est la parabole de paramètre \(p=\frac{3}{4\sqrt{2}}\) et dont les éléments caractéristiques dans le repère \((\Omega,x',y')\) sont

\(S\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{8\sqrt{2}}\right)\), \(F = S +\frac{p}{2}(0,1)=\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{8\sqrt{2}}\right)+\frac{3}{8\sqrt{2}}(0,1)=\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},\frac{1}{4\sqrt{2}}\right)\) puis \(K= S-\frac{p}{2}(0,1)=\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{8\sqrt{2}}\right)-\frac{3}{8\sqrt{2}}(0,1)=\left(-\frac{13}{4\sqrt{6}},-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)\) et donc \((D)\) : \(y'= -\frac{1}{2\sqrt{2}}\).

On repasse maintenant dans le repère \((\Omega,X,Y)\). \(S\) a pour coordonnées \(\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} \sqrt{3}&-1\\ 1&\sqrt{3} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\frac{13}{4\sqrt{6}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{1}{8\sqrt{2}} \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{25}{16\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{29}{16\sqrt{6}} \end{array}\right)\), \(F\) a pour coordonnées \(\frac{1}{2}\left( \begin{array}{cc} \sqrt{3}&-1\\ 1&\sqrt{3} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\frac{13}{4\sqrt{6}}\\ \rule{0mm}{6mm}\frac{1}{4\sqrt{2}} \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{7}{4\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{5}{4\sqrt{6}} \end{array}\right)\) puis \((D)\) a pour équation \(-X+\sqrt{3}Y=-\frac{1}{\sqrt{2}}\).

On revient enfin au repère \((O,x,y,z)\).

Le point \(S\) a pour coordonnées \(\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\frac{25}{16\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{29}{16\sqrt{6}}\\ \rule{0mm}{6mm}0 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} \frac{1}{3}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{3}{4}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{13}{16}\\ \frac{15}{16} \end{array} \right)\) puis le point \(F\) a pour coordonnées \(\left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}}\\ 0&-\frac{2}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\frac{7}{4\sqrt{2}}\\ \rule{0mm}{6mm}-\frac{5}{4\sqrt{6}}\\ \rule{0mm}{6mm}0 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c} \frac{1}{3}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -\frac{3}{4}\\ \rule[-4mm]{0mm}{10mm}1\\ \frac{3}{4} \end{array} \right)\) et enfin

\((D)\) : \(\left\{ \begin{array}{l} -\frac{1}{\sqrt{2}}(x-y)+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}(x+y-2z)=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ x+y+z-1=0 \end{array} \right.\)

\((\Gamma)\) est la parabole de paramètre \(p=\frac{3}{4\sqrt{2}}\), de sommet \(S\left(-\frac{3}{4},\frac{13}{16}, \frac{15}{16}\right)\), de foyer \(F\left(-\frac{3}{4},1,\frac{3}{4}\right)\)

et de directrice \((D)\) : \(\left\{ \begin{array}{l} -y+z=\frac{1}{2}\\ x+y+z-1=0 \end{array} \right.\).

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