Les primitives de la fonction \(a(x)=2x\) sont les fonctions \(A(x)= x^2/2 + k\) où \(k \in \R\) est une constante réelle quelconque. Donc les solutions de l’équation homogène associée à \(E\) sont toutes les fonctions définies sur \(\R\) du type : \(y(x)= ce^{-x^2}\) où \(c\in\R\) est une constante arbitraire. On cherche maintenant une solution particulière de \(E\) sous la forme \(y_p(x)=c(x)e^{-x^2}\) (méthode de la variation de la constante). On a :
\(y_p^\prime(x)+ 2xy_p(x)= c^\prime(x)e^{-x^2}\). Donc \(y_p\) est solution de \(E\) si et seulement si : \(c^\prime(x)=xe^{x^2}\) pour tout \(x\in\R\). On choisit la fonction \(c\) parmi les primitives de la fonction \(xe^{x^2}\), par exemple : \(c(x)=1/2e^{x^2}\). Donc la fonction \(y_p\) telle que \(y_p(x)=1/2e^{x^2}e^{-x^2}=1/2\) est solution de \(E\).
Par conséquent les solutions de \(E\) sont toutes les fonctions de la forme : \[y(x)= ce^{-x^2} + \frac{1}{2} \; c \in\R .\] Pour \(y\) solution de \(E_1\), la condition \(y(0)=1\) équivaut à : \(c=1/2\).

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