On considère dans \({\Nn}^*\), la famille de progressions arithmétiques \[P_{a,b}=\{a+bn/n\in {\Nn}^*\},\] où \(a\) et \(b\) sont deux entiers premiers entre eux.
1
Montrer que l’intersection de deux telles progressions est soit vide, soit une progression arithmétique de même nature, plus précisément, \[P_{a,b}\cap P_{a',b'}=P_{\alpha,\beta}\] où \(\alpha\) est le minimum de l’ensemble \(P_{a,b}\cap P_{a',b'}\), et \(\beta=\mathrm{ppcm}(b,b')\).
2
En déduire que cette famille d’ensembles (en y adjoignant \(\emptyset\)) forme une base de topologie sur \({\Nn}^*\) dont on décrira les ouverts.
3
Montrer que cette topologie est séparée.