(Écrasement d’une partie d’un ensemble) Soit \(X\) un ensemble. Pour tout sous-ensemble \(A\subseteq X\), on définit la relation binaire \(\sim_A\) sur \(X\) comme suit: \[\forall (x,y)\in X^2, \: x\sim_A y \iff \left(x=y \text{ ou } \left(x\in A\text{ et } y\in A\right)\right).\]
Montrer que c’est une relation d’équivalence sur \(X\). Quelles sont ses classes d’équivalence ?
Soit \(f\) une fonction de \(X\) dans un ensemble \(E\), constante sur \(A\). Montrer qu’elle descend au quotient en une application \([f] : X/\sim_A \to E\).
Montrer que pour tout ensemble \(E\), l’application \[\phi : \left\{f\in \mathcal F(X,E),\:\middle| \: f\text{ est constante sur } A\right\} \to \mathcal F(X/\sim_A, E),\] qui à \(f\) associe \([f]\) est surjective.
Identifier, parmi les relations d’équivalence étudiées dans le cours et les exercices du chapitre, celles qui sont des cas particuliers d’écrasements de parties.