Montrons par récurrence que \(\forall n\geq1,\;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\). Pour \(n=1\), \(\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{6}=\frac{1\times(1+3)}{4\times(1+1)(1+2)}\) et la formule proposée est vraie pour \(n=1\). Soit \(n\geq1\). Supposons que \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\) et montrons que \(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)}\).

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}&=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\\ &=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}\;(\mbox{par hypothèse de récurrence})\\ &=\frac{n(n+3)^2+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{n^3+6n^2+9n+4}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\\ &=\frac{(n+1)(n^2+5n+4)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{(n+1)(n+4)}{4(n+2)(n+3)} \end{align*}\] On a montré par récurrence que :

\(\forall n\geq1,\;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}.\)

Démonstration directe. Pour \(k\geq1\),

\[\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right),\] et donc,

\[\begin{align*} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}&=\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)}) =\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}-\sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)})\\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)=\frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)} =\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)} \end{align*}\]

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