Si \(A\) est nilpotente, pour tout \(k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(A^k\) est nilpotente et donc \(0\) est l’unique valeur propre dans \(\Cc\) de \(A^k\). Par suite, \(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(\text{Tr}(A^k) = 0\).

Réciproquement , supposons que \(\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(\text{Tr}(A^k) = 0\) et montrons alors que toutes les valeurs propres de \(A\) dans \(\Cc\) sont nulles. Ceci montrera que le polynôme caractéristique de \(A\) est \((-X)^n\) et donc que \(A\) est nilpotente d’après le théorème de Cayley-Hamilton.

Soient \(\lambda_1\),..., \(\lambda_n\) les \(n\) valeurs propres (distinctes ou confondues) de \(A\) dans \(\Cc\). Pour \(k\in\llbracket1,n\rrbracket\), on pose \(S_k =\lambda_1^k+...+\lambda_n^k\). Il s’agit de montrer que : \((\forall k\in\llbracket1,n\rrbracket,\;S_k =0)\Rightarrow(\forall j\in\llbracket1,n\rrbracket,\;\lambda_j =0)\).

1ère solution. Les \(S_k\), \(1\leqslant k\leqslant n\), sont tous nuls et par combinaisons linéaires de ces égalités, on en déduit que pour tout polynôme \(P\) de degré inférieur ou égal à \(n\) et s’annulant en \(0\), on a \(P(\lambda_k) = 0\) (1). Il s’agit alors de bien choisir le polynôme \(P\).

Soit \(i\in\llbracket1,n\rrbracket\). Soient \(\mu_1\),..., \(\mu_p\) les valeurs propres deux à deux distinctes de \(A\) (\(1\leqslant p\leqslant n\)). On prend \(P =X\prod_{j\neq i}^{}(X-\mu_j)\) si \(p\geqslant2\) et \(P = X\) si \(p = 1\). \(P\) est bien un polynôme de degré inférieur ou égal à \(n\) et s’annule en \(0\). L’égalité \(P(\lambda_i)=0\) fournit \(\lambda_i = 0\) ce qu’il fallait démontrer.

2ème solution. Pour ceux qui savent que les sommes de Newton \(S_k\) sont liées aux fonctions élémentaires en les \(\lambda_i\) \(\sigma_1\),..., \(\sigma_n\) par les formules de Newton :

\(\forall k\leqslant n\), \(S_k -\sigma_1S_{k-1}+...+(-1)^{k-1}\sigma_{k-1}S_1+ (-1)^kk\sigma_k = 0\).

Par suite, si tous les \(S_k\), \(1\leqslant k\leqslant n\), sont nuls alors immédiatement tous les \(\sigma_k\), \(1\leqslant k\leqslant n\), sont nuls et donc les \(\lambda_i\) sont nuls car tous racines de l’équation \(x^n = 0\).

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