Soit \(f\) une fonction holomorphe sur le disque unité \(\Delta\). Le but de l’exercice est de montrer que \(|f(z)|\) ne tend pas vers \(+\infty\) quand \(|z|\) tend vers \(1\).
Vérifier l’énoncé pour l’application \(\Delta\to\Cc\), \(z\mapsto \frac{1}{z^6-1}\).
Supposons d’abord que \(f\) n’a pas de zéro dans \(\Delta\). Soit \(r_n\) une suite de réels de \([0,1[\), tels que pour tout entier naturel non nul \(n\) et tout \(z\) de \(\Delta\) de module supérieur à \(r_n\), \(f(z)\) est de module supérieur à \(n\). Montrer alors que pour tout \(n\), \(|f(0)|\geq n\) et conclure.
Dans le cas général, supposons que \(|f(z)|\) tende vers \(+\infty\) quand \(|z|\) tend vers \(1\). Montrer qu’on peut écrire \(f\) comme produit sur \(\Delta\) d’un polynôme et d’une application holomorphe \(g\) qui n’a pas de zéro dans \(\Delta\). Conclure.