Soit \(f\) un endomorphisme d’un ev \(E\) ayant \(A\) pour matrice. On doit trouver \(g\in GL(E)\) tel que \(f\circ g = 2g\circ f\). Construction de \(g\) par récurrence sur \(n=\dim E\).

\(n\le1\) : on a \(f=0\) donc \(g=\mathrm{id}_E\) convient.

\(0,\dots,n-1 \Rightarrow n\) : \(f\) est non surjectif donc l’hypothèse de récurrence s’applique à \(f_{|\Im(f)}\). Soit \(g_1\in GL(\Im(f))\) tel que \(f(g_1(x)) = 2g_1(f(x))\) pour tout \(x\in\Im(f)\). Soit \(E = H \oplus I \oplus K \oplus L\) avec \(H=\Im(f)\cap\mathrm{Ker}(f)\), \(H \oplus I = \Im(f)\) et \(H \oplus K = \mathrm{Ker}(f)\). La restriction de \(f\) à \(I\oplus L\) induit un isomorphisme sur \(\Im(f)\), on note \(\varphi\) l’isomorphisme réciproque. Soit \(g\in\mathcal{L}(E)\) définie par :

\[g(h+i+k+\ell) = g_1(h+i) + k + 2\varphi(g_1(f(\ell))).\]

On vérifie facilement que \(f\circ g = 2g\circ f\) et il reste à prouver que \(g\) est injective. Si \(x=h+i+k+\ell\in\mathrm{Ker} g\) alors \(g(f(x)) = g_1(f(i+\ell)) = 0\) donc \(i+\ell\in\mathrm{Ker} f = H\oplus K\) soit \(i=\ell=0\). Il reste \(g_1(h)+k=0\) ce qui implique \(h=k=0\) car \(g_1(h)\in \Im f = H\oplus I\).

Remarque : la démonstration passe à tout corps de caractéristique différente de \(2\).

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