La seule fonction qui est à la fois paire et impaire est la fonction nulle : \(P\cap I = \{0\}\). Montrons qu’une fonction \(f:\Rr \longrightarrow \Rr\) se décompose en une fonction paire et une fonction impaire. En effet : \[f(x)= \frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}.\] La fonction \(x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}\) est paire (le vérifier !), la fonction \(x \mapsto \frac{f(x)-f(-x)}{2}\) est impaire. Donc \(P+I=E\). Bilan : \(E=P\oplus I.\) Le projecteur sur \(P\) de direction \(I\) est l’application \(\pi : E \longrightarrow E\) qui à \(f\) associe la fonction \(x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}\), c’est-à-dire à \(f\) on associe la partie paire de \(f\). Nous avons bien

\(\pi(f)\in P\). Par définition de \(\pi\), \(\pi(f)\) est bien une fonction paire.
\(\pi \circ \pi = \pi\). Si \(g\) est une fonction paire alors \(\pi(g)=g\). Appliquons ceci avec \(g=\pi(f)\) (qui est bien est une fonction paire) donc \(\pi(\pi(f))=\pi(f)\).
\(\ker \pi = I\). Si \(\pi(f)=0\) alors cela signifie exactement que la fonction \(x \mapsto \frac{f(x)+f(-x)}{2}\) est la fonction nulle. Donc pour tout \(x\) : \(\frac{f(x)+f(-x)}{2}=0\) donc \(f(x)=-f(-x)\) ; cela implique que \(f\) est une fonction impaire. Réciproquement si \(f\in I\) est une fonction impaire, sa partie paire est nulle donc \(f\in \ker f\).

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