Les polynômes de degré inférieur ou égal à \(0\) solutions sont clairement \(0\) et \(1\).

Soit \(P\) un polynôme de degré supérieur ou égal à \(1\) tel que \(P(X^2)=P(X)P(X+1)\).

Soit \(a\) une racine de \(P\) dans \(\Cc\). Alors, \(a^2\), \(a^4\), \(a^8\)..., sont encore racines de \(P\). Mais, \(P\) étant non nul, \(P\) ne doit admettre qu’un nombre fini de racines. La suite \((a^{2^n})_{n\in\Nn}\) ne doit donc prendre qu’un nombre fini de valeurs ce qui impose \(a=0\) ou \(|a|=1\) car si \(|a|\in]0,1[\cap]1,+\infty[\), la suite \((|a^{2^n}|)\) est strictement monotone et en particulier les \(a^{2^n}\) sont deux à deux distincts.

De même, si \(a\) est racine de \(P\) alors \((a-1)^2\) l’est encore mais aussi \((a-1)^4\), \((a-1)^8\)..., ce qui impose \(a=1\) ou \(|a-1|=1\).

En résumé,

\[(a\;\mbox{racine de}\;P\;\mbox{dans}\;\Cc)\Rightarrow((a=0\;\mbox{ou}\;|a|=1)\;\mbox{et}\;(a=1\;\mbox{ou}\;|a-1|= 1))\Rightarrow(a=0\;\mbox{ou}\;a=1\;\mbox{ou}\;|a|=|a-1|=1).\]

Maintenant, \(|a|=|a-1|=1\Leftrightarrow|a|=1\;\mbox{et}\;|a|=|a-1|\Leftrightarrow a\in\mathcal{C}((0,0),1)\cap\mbox{med}[(0,0),(1,0)]=\{-j,-j^2\}\).

Donc, si \(P\in\Rr[X]\) est solution, il existe \(K\), \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(K\) complexe non nul et \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) entiers naturels tels que \(P=KX^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\gamma\) (\(-j\) et \(-j^2\) devant avoir même ordre de multiplicité).

Réciproquement, si \(P=KX^\alpha(X-1)^\beta(X+j)^\gamma(X+j^2)^\gamma=KX^\alpha(X-1)^\beta(X^2-X+1)^\gamma\). \[P(X^2)=KX^{2\alpha}(X^2-1)^\beta(X4-X^2+1)^\gamma=KX^{2\alpha}(X-1)^\beta(X+1)^\beta(X^2-\sqrt{3}X+1)^\gamma(X^2+ \sqrt{3}X+1)^\gamma,\]

et

\[\begin{align*}\ensuremath P(X)P(X+1)&=KX^\alpha(X-1)^\beta(X^2-X+1)\gamma K(X+1)^\alpha X^\beta(X^2+X+1)^\gamma\\ &=K^2X^{\alpha+\beta}(X-1)^\beta(X+1)^\alpha(X^2-X+1)^\gamma(X^2+X+1)^\gamma. \end{align*}\]

Par unicité de la décompôsition en produit de facteurs irréductibles d’un polynôme non nul, \(P\) est solution si et seulement si \(P=0\) ou \(K=1\) et \(\alpha=\beta\) et \(\gamma=0\).

Les polynômes solutions sont \(0\) et les \((X^2-X)^\alpha\) où \(\alpha\) est un entier naturel quelconque.

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