Montrons par récurrence que, pour \(n\geq2\), \(H_n\) peut s’écrire sous la forme \(\frac{p_n}{q_n}\) où \(q_n\) est un entier pair et \(p_n\) est un entier impair (la fraction précédente n’étant pas nécessairement irréductible mais à coup sûr pas un entier). Pour \(n=2\), \(H_2=\frac{3}{2}\) et \(H_2\) est bien du type annoncé. Soit \(n\geq2\). Supposons que pour tout entier \(k\) tel que \(2\leq k\leq n\), on ait \(H_k=\frac{p_k}{q_k}\) où \(p_k\) est un entier impair et \(q_k\) est un entier pair et montrons que \(H_{n+1}=\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\) où \(p_{n+1}\) est un entier impair et \(q_{n+1}\) est un entier pair. (Recherche. L’idée \(H_{n+1}=\frac{p_n}{q_n}+\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)p_n+q_n}{(n+1)q_n}\) ne marche à coup sur que si \((n+1)p_n+q_n\) est impair ce qui est assuré si \(n+1\) est impair et donc \(n\) pair)

1er cas. Si \(n\) est pair, on peut poser \(n=2k\) où \(k\in\Nn^*\). Dans ce cas, \(H_{n+1}=\frac{(2k+1)p_n+q_n}{(2k+1)q_n}\) et \(H_{n+1}\) est bien le quotient d’un entier impair par un entier pair.
2ème cas. Si \(n\) est impair, on pose \(n=2k-1\) où \(k\geq2\) (de sorte que \(2k-1\geq3\)).

\[\begin{align*} H_{n+1}&=\sum_{i=1}^{2k}\frac{1}{i}=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{2i}+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}\;\\ &(\mbox{en séparant les fractions de dénominateurs pairs des fractions de dénominateurs impairs})\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i}+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}=\frac{1}{2}H_k+\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}. \end{align*}\]

Maintenant, en réduisant au même dénominateur et puisque un produit de nombres impairs est impair, on voit que \(\sum_{i=0}^{k-1}\frac{1}{2i+1}\) est du type \(\frac{K}{2K'+1}\) où \(K\) et \(K'\) sont des entiers. Ensuite, puisque \(2\leq k\leq2k-1=n\), par hypothèse de récurrence, \(H_k=\frac{p_k}{q_k}\) où \(p_k\) est un entier impair et \(q_k\) un entier pair. Après réduction au même dénominateur, on obtient

\[H_{n+1}=\frac{p_k}{2q_k}+\frac{K}{2K'+1}=\frac{(2K'+1)p_k+2Kq_k}{2q_k(2K'+1)}.\]

\(2Kq_k\) est un entier pair et \((2K'+1)p_k\) est un entier impair en tant que produit de deux nombres impairs. Donc le numérateur est bien un entier impair et puisque \(2qk(2K'+1)\) est un entier pair, \(H_{n+1}\) est bien dans tous les cas de la forme désirée.

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq2\), \(H_n\) est le quotient d’un entier impair par un entier pair et donc n’est pas un entier.

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