Soit \(E\) le sous ensemble de \(M_3({\Rr})\) défini par \(E = \Bigl \{ M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a & 0 & c \cr 0 & b & 0 \cr c & 0 & a \cr \end{pmatrix} a , b , c \in {\Rr} \Bigr \} .\)
1
Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_3(\Rr)\) stable pour la multiplication des matrices. Calculer \(\hbox{dim } (E) .\)
2
Soit \(M(a,b,c)\) un élément de \(E .\) Déterminer, suivant les valeurs des paramètres \(a , b \hbox{ et } c \in {\Rr}\) son rang. Calculer (lorsque cela est possible) l’inverse \(M(a,b,c) ^{-1}\) de \(M(a,b,c) .\)
3
Donner une base de \(E\) formée de matrices inversibles et une autre formée de matrices de rang \(1 .\)