Soit \(P\) la proposition définie pour tout entier \(n\) par \(P_n\):“\(u_n\geq 0\)”.

Initialisation : pour \(n=0\), \(u_0\geq 0\) par hypothèse donc \(P_0\) est vraie.

Hérédité : supposons la proposition \(P_n\) vraie pour un certain entier \(n\) fixé, et démontrons que \(P_{n+1}\) est vraie.
Par hypothèse de récurrence, on a donc \(u_n\geq 0\). Mais alors : \[1+5u_n \geq 1 \geq 0 \qeq 2u_n^2 \geq 0\] donc par quotient, \(\ds{\frac{2u_n^2}{1+5u_n}\geq 0}\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\geq 0\) : \(P_{n+1}\) est donc vraie et la proposition est héréditaire.

D’après le principe de récurrence, on en déduit que la proposition \(P_n\) est vraie pour tout entier \(n\), c’est-à-dire \[\boxed{\forall~n,\quad u_n\geq 0}\] Déterminons alors la monotonie de \(u\). Soit \(n\) un entier. On a : \[\begin{align*} u_{n+1}-u_n &= \frac{2u_n^2}{1+5u_n} - u_n \\ &= \frac{2u_n^2}{1+5u_n} - \frac{u_n(1+5u_n)}{1+5u_n}\\ &= \frac{2u_n^2 -(u_n+5u_n^2)}{1+5u_n}\\ &= \frac{-u_n-3u_n^2}{1+5u_n} \end{align*}\] D’après l’étude précédente, puisque \(u_n\geq 0\), alors \(-u_n\leq 0\). De plus, \(-3u_n^2\leq 0\); par somme, \(-u_n-3u_n^2\leq 0\). Le dénominateur est quant à lui positif :\(1+5u_n\geq 0\). Par quotient \[u_{n+1}-u_n \leq 0\] Ceci étant vrai pour tout entier \(n\), on en déduit que la suite \((u_n)\) est décroissante.
La suite est donc décroissante, minorée : d’après le théorème de la limite monotone, on en déduit que la suite \((u_n)\) converge.

Monotonie et limite II