L’équation \(|f(x)|\leq |g(x)|\) est équivalente à l’équation \((f(x))^2\leq (g(x))^2\) car les termes sont positifs.

On utilise la remarque précédente : \[\begin{align*} |2x-5| \leq |x+3| &\Leftrightarrow (2x-5)^2 \leq (x+3)^2 \\ &\Leftrightarrow (2x-5)^2-(x+3)^2 \leq 0\\ &\Leftrightarrow ((2x-5)-(x+3))((2x-5)+(x+3)) \leq 0 \\ &\Leftrightarrow (x-8)(3x-2) \leq 0 \end{align*}\] On dresse un tableau de signes :

On peut conclure : \[\boxed{\mathcal{S}= \left [ {\frac{2}{3}},\,8\right ].}\] Pour la deuxième inéquation, on utilise les propriétés de la valeur absolue : \[|x^2-6x+7|<1 \iff -1 < x^2-6x+7 < 1 \iff \left( 0<x^2-6x+8 \qeq x^2-6x+6<0\right).\] On résout les deux inéquations (trinôme du second degré) : \[\begin{align*} x^2-6x+8~>0 &\iff x \in \left]-\infty,\,2\right[\cup \left]4,\,+\infty\right[ \\ x^2-6x+6 < 0 & \iff x \in \left]3-\sqrt{3},\,3+\sqrt{3}\right[ \end{align*}\] Ainsi, \[~|x^2-6x+7|<1 \iff x\in \left(\left]-\infty,\,2\right[\cup \left]4,\,+\infty\right[\right)\cap \left]3-\sqrt{3},\,3+\sqrt{3}\right[.\] Bilan : \[\boxed{\mathcal{S} = \left]3-\sqrt{3},\,2\right[\cup \left]4,\,3+\sqrt{3}\right[.}\]

Inéquations et valeurs absolues