Soit \(D_\infty\) le groupe des isométries de la droite affine \(\R\) formé par l’ensemble des éléments de la forme \(\tau_1^n\) et \(\tau_1^n \circ \sigma\), où \(n\in \Z\), \(\tau_1(x)=x+1\) et \(\sigma (x)=-x\). On appelle \(D_\infty\) le groupe diédral infini.
Montrer que \(H=<\tau_1>\) est le seul sous-groupe cyclique infini d’indice 2 de \(D_\infty\). Montrer que \(H\) est un sous-groupe distingué de \(D_\infty\).
Montrer que, pour tout sous-groupe \(S\) d’ordre 2 de \(D_\infty\), on a \(D_\infty = SH\).
Soit \(K< D_\infty\) tel que \(K \not\subset H\). Montrer que \(D_\infty =HK\). En déduire que \(K\cap H\) est d’indice 2 dans \(K\). Montrer que \(K\cap H \neq (e)\) implique \(K\simeq D_\infty\).
Montrer que tout sous-groupe propre de \(D_\infty\) est isomorphe soit à \(\Z\), soit à \((\pm 1)\), soit à \(D_\infty\).
On note \({\mathcal S}_n\) l’ensemble des sous-groupes \(K<D_\infty\) tels que \(K \not\subset H\) et \(K\cap H=H_n\), où \(H_n:=<\tau_1^n>\). Prouver que \({\mathcal S}_n\) contient \(n\) éléments.