On cherche l’équation d’une telle parabole \(\mathcal{P}\) sous la forme \((ax+by)^2+2cx+2dy+e=0,\;a^2+b^2=1,\;a>0\).

\[(1,0)\in\mathcal{P}\Leftrightarrow\boxed{a^2+2c+e=0}\;\mbox{et}\;(0,2)\in\mathcal{P}\Leftrightarrow \boxed{4b^2+4d+e=0}.\] D’après la règle de dédoublement des termes, une équation cartésienne de la tangente à \(\mathcal{P}\) en \((1,0)\) est \(a^2x+aby+c(x+1)+dy+e=0\) ou encore \((a^2+c)x+(ab+d)y+c+e=0\). Cette tangente est l’axe \((Ox)\) si et seulement si \(a^2+c=c+e=0\;\mbox{et}\;ab+d\neq0\). Une équation cartésienne de la tangente à \(\mathcal{P}\) en \((0,2)\) est \(2abx+2b^2y+cx+d(y+2)+e=0\) ou encore \((2ab+c)x+(2b^2+d)y+2d+e=0\). Cette tangente est l’axe \((Oy)\) si et seulement si \(2b^2+d=2d+e=0\) et \(2ab+c\neq0\). En résumé, \(\mathcal{P}\) est solution si et seulement si

\[\left\{ \begin{array}{l} c=-a^2\\ d=-2b^2\\ e=a^2=4b^2\\ a^2+b^2=1\\ ab+d\neq0\\ 2ab+c\neq0\\ a>0 \end{array} \right..\] Maintenant, \(\left(a^2=4b^2,\;a^2+b^2=1\;\mbox{et}\;a>0\right)\Leftrightarrow a=\frac{2}{\sqrt{5}}\;\mbox{et}\;b=\pm\frac{1}{\sqrt{5}}\). Le cas \(b=\frac{1}{\sqrt{5}}\) fournit \(d=-\frac{2}{5}\) puis \(ab+d=0\) ce qui est exclu. Donc, nécessairement \(a=\frac{2}{\sqrt{5}}\) et \(b=-\frac{1}{\sqrt{5}}\) puis \(c=-\frac{4}{5}\), \(d=-\frac{2}{5}\) et \(e=\frac{4}{5}\) qui sont effectivement solution du système. On obtient ainsi une et une seule courbe du second degré solution, à savoir la courbe d’équation cartésienne

\((2x-y)^2-8x-4y+4=0.\)

Il reste à vérifier que cette courbe est effectivement une parabole. On pose \(\left\{ \begin{array}{l} X=\frac{1}{\sqrt{5}}(-x-2y)\\ Y=\frac{1}{\sqrt{5}}(2x-y) \end{array} \right.\) ou encore \(\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{\sqrt{5}}(-X+2Y)\\ y=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2X-Y) \end{array} \right.\).

\[\begin{align*}\ensuremath (2x-y)^2-8x-4y+4=0&\Leftrightarrow5Y^2-\frac{8}{\sqrt{5}}(-X+2Y)-\frac{4}{\sqrt{5}}(-2X-Y)+4=0\Leftrightarrow5Y^2-\frac{12}{\sqrt{5}}Y+\frac{16}{\sqrt{5}}X+4=0\\ &\Leftrightarrow5\left(Y-\frac{6}{5\sqrt{5}}\right)^2=-\frac{16}{\sqrt{5}}\left(X+\frac{4}{5\sqrt{5}}\right). \end{align*}\] \(\mathcal{C}\) est donc effectivement une parabole.

\[\]

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