(9 points) Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R^3\), dont la matrice dans la base canonique est \[A=\begin{pmatrix}3&2&-2 \\ -1&0&1 \\ 1&1&0 \\ \end{pmatrix}\]
Calculer les valeurs propres de \(A\). L’endomorphisme \(u\) est-il diagonalisable ?
Calculer \((A-I)^2\). Montrer que \(A^n=nA+(1-n)I\) en utilisant la formule du binôme de Newton.
Soient \(P(X)=(X-1)^2\) et \(Q\in\R[X]\). Exprimer le reste de la division euclidienne de \(Q\) par \(P\) en fonction de \(Q(1)\) et \(Q'(1)\), où \(Q'\) est le polynôme dérivé de \(Q\). En remarquant que \(P(A)=0\) et en utilisant le résultat précédent avec un choix judicieux du polynôme \(Q\), retrouver \(A^n\).
Montrer que l’image de \(\R^3\) par l’endomorphisme \(u-\mathrm{Id}\) est un sous-espace vectoriel de dimension \(1\), on notera \(\varepsilon_2\) une base.
Déterminer un vecteur \(\varepsilon_3\) tel que \(u(\varepsilon_3)=\varepsilon_2+\varepsilon_3\). Déterminer un vecteur propre \(\varepsilon_1\) de \(u\) non colinéaire à \(\varepsilon_2\).
Montrer que \((\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)\) est une base de \(\R^3\).Ecrire la matrice de \(u\) dans cette base, ainsi que les matrices de passage.
Retrouver \(A^n\).