(Ne pas confondre : (\(\forall x\in E,\; \exists p\in\Nn^*/\;f^p(x)=0\)) et (\(\exists p\in\Nn^*/\;\forall x\in E,\;f^p(x) = 0)\). Dans le deuxième cas, \(p\) est indépendant de \(x\) alors que dans le premier cas, \(p\) peut varier quand \(x\) varie).

Soit \(\mathcal{B}=(e_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) une base de \(E\). Pour chaque \(i\in\llbracket1,n\rrbracket\), il existe un entier non nul \(p_i\) tel que \(f^{p_i}(e_i)=0\). Soit \(p=\text{Max}\{p_1,...,p_n\}\). \(p\) est un entier naturel non nul et pour \(i\) dans \(\llbracket1,n\rrbracket\), on a

\(f^{p}(e_i)=f^{p-p_i}(f^{p_i}(e_i))=f^{p-p_i}(0)=0\).

Ainsi l’endomorphisme \(f^p\) s’annule sur une base de \(E\) et on sait que \(f^p=0\).

On a donc trouvé un entier non nul \(p\) tel que \(f^p=0\) et par suite \(f\) est nilpotent.

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