On écrit la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle \[\frac{z^2+z-1}{z^2(z^2-4)}=\frac{5}{16}\frac{1}{z-2}-\frac{1}{16(z+2)}-\frac{1}{4z}+\frac{1}{4z^2}.\] Les premier et troisième termes correspondent aux pôles simples \(P_2\) et \(P_1\) à l’intérieur du cercle \({\partial \Delta_2(1)}\). Donc, \[\int_{\partial \Delta_2(1)}\left(\frac{5}{16}\frac{1}{z-2}-\frac{1}{4z}\right)dz=(2i\pi)(\frac{5}{16}-\frac{1}{4})=\frac{i\pi}{8}.\] Le deuxième terme correspond au pôle \(P_3\) à l’extérieur du cercle \({\partial \Delta_2(1)}\) donc, \(\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{1}{16(z+2)}dz=0\). Le dernier terme est l’intégrale sur un chemin fermé de l’application exacte \(z\mapsto \frac{1}{4z^2}\) de primitive \(z\mapsto -\frac{1}{4z}\). Donc, \(\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{1}{4z^2}dz=0\). En conclusion, \[\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{z^2+z-1}{z(z^2-4)}dz=\frac{i\pi}{8}.\]

Une autre démarche serait : on écrit la décomposition en éléments simples de la fraction rationelle \[\frac{1}{z^2(z^2-4)}=\frac{1}{16}\frac{1}{z-2}-\frac{1}{16(z+2)}-\frac{1}{4z^2}.\] et donc avec \(f(z)=z^2+z-1\) holomorphe sur \(\Cc\) \[\frac{z^2+z-1}{z^2(z^2-4)}=\frac{1}{16}\frac{f(z)}{z-2}-\frac{f(z)}{16(z+2)}-\frac{f(z)}{4z^2}.\] Par le théorème de Cauchy sur les disques, puisque \(0\) et \(2\) sont dans \(\Delta_2(1)\) mais pas \(-2\), \[\begin{aligned} \int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{z^2+z-1}{z^2(z^2-4)}&=&\frac{1}{16}\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{f(z)}{z-2}-\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{f(z)}{16(z+2)}-\int_{\partial \Delta_2(1)}\frac{f(z)}{4z^2}\\ &=&\frac{2i\pi f(2)}{16}-0-\frac{2i\pi f'(0)}{4}=\frac{5i\pi}{8}-\frac{i\pi}{2} =\frac{i\pi}{8}. \end{aligned}\]

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