Soit \(f\) une fonction holomorphe non identiquement nulle dans un ouvert \(\Omega\) connexe contenant le disque fermé \(\overline{D(z_0,r)}\). Soit \(\gamma\) le cercle \(\{z\vert\ \vert z-z_0\vert =r\}\) orienté positivement.
Montrer que \(f\) a un nombre fini de zéros dans \(D(z_0,r)\).
On suppose que \(f\) n’a pas de zéros sur \(\gamma ^*\). Calculer \(\displaystyle {1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}z^pdz\) pour \(p=0,1,\dots\) (utiliser les zéros de \(f\) dans \(D(z_0,r)\)).
On suppose toujours que \(f\) n’a pas de zéros sur \(\gamma ^*\). On prend \(p=0\). Montrer que l’intégrale précédente est égale au nombre total de zéros de \(f\) dans \(D(z_0,r)\). Montrer que ce nombre est aussi l’indice du point \(0\) par rapport à la courbe fermée \(\Gamma =f(\gamma )\).
Soit \(w_0=f(z_0)\) et \(n\) la multiplicité du zéro \(z_0\) pour la fonction \(f(z)-w_0\). Montrer que l’on peut choisir \(\varepsilon >0\) tel que \(f'(z)\) ne s’annule pas pour \(0<\vert z-z_0\vert <\varepsilon\), et qu’il existe un \(\delta >0\) tel que pour tout \(a\) avec \(\vert a-w_0\vert <\delta\), l’équation \(f(z)=a\) a exactement \(n\) racines dans le disque \(\vert z-z_0\vert <\varepsilon\).
En déduire le principe du maximum : si \(f\) est holomorphe et non constante dans \(\Omega\), alors \(\vert f\vert\) n’a pas de maximum dans \(\Omega\).