Posons \(P = X^3+\alpha X^2+\beta X+\gamma\).

\[\begin{align*}\ensuremath P(x)=P(y)&\Leftrightarrow(y^3-x^3) +\alpha(y^2-x^2)+\beta(y-x) = 0\Leftrightarrow(y-x)(x^2+xy+y^2+\alpha(x+y)+\beta) = 0\\ &\Leftrightarrow y-x = 0\;\text{ou}\;x^2+xy+y^2+\alpha(x+y)+\beta= 0. \end{align*}\]

L’ensemble cherché est la réunion de la droite \((D)\) d’équation \(y=x\) et de la courbe \((\Gamma)\) d’équation \(x^2+xy+y^2+\alpha(x+y)+\beta=0\). Pour étudier la courbe \((\Gamma)\) qui est du genre ellipse, posons \(x =\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Y)\) et \(y =\frac{1}{\sqrt{2}}(X-Y)\) puis notons \(\mathcal{R}'\) le repère \((OXY)\).

\[\begin{align*}\ensuremath x^2+xy+y^2+\alpha(x+y)+\beta=0&\Leftrightarrow\frac{1}{2}((X+Y)^2+(X+Y)(X-Y)+(X-Y)^2)+\frac{\alpha}{\sqrt{2}}(X+Y+X-Y)+\beta=0\\ &\Leftrightarrow\frac{1}{2}(3X^2+Y^2)+\alpha\sqrt{2}X+\beta=0\Leftrightarrow3\left(X+\frac{\alpha\sqrt{2}}{3}\right)^2+Y^2=\frac{2}{3}(\alpha^2-3\beta). \end{align*}\]

\((\Gamma)\) est une ellipse si et seulement si \(\alpha^2-3\beta> 0\) (sinon \((\Gamma)\) est un point ou est vide). Dans ce cas, \(3\left(X+\frac{\alpha\sqrt{2}}{3}\right)^2+Y^2=\frac{2}{3}(\alpha^2-3\beta)\Leftrightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}= 1\) où \(a^2=\frac{2}{9}(\alpha^2-3\beta) < \frac{2}{3}(\alpha^2-3\beta) = b^2\). Par suite,

\(e=\frac{c}{b}=\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\).

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