On note \(I_1\) le point d’intersection de la bissectrice \((\Delta_1)\) de l’angle \(\widehat{BAC}\) et de la droite \((BC)\). La parallèle à \((AC)\) passant par \(B\) coupe \(\Delta_1\) (puisque \((AC)\) n’est pas parallèle à \((\Delta_1)\)) en un point \(A_1\). Les angles alternes-internes \(\widehat{CAA_1}\) et \(\widehat{AA_1B}\) sont alors égaux. Puisque d’autre part, \(\widehat{CAA_1}=\widehat{A_1AB}\), on en déduit que \(\widehat{AA_1B}=\widehat{A_1AB}\) et donc que le triangle \((ABA_1)\) est isocèle en \(B\). D’après le théorème de Thalès, on a alors

\[\frac{I_1B}{I_1C}=\frac{A_1B}{AC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b},\] et donc puisque \(I_1\) est entre \(B\) et \(C\), \(b\overrightarrow{I_1B}+c\overrightarrow{I_1C}=\vec{0}\), ou enfin \(I_1=\mbox{bar}\{B(b),C(c)\}\).

\[\]

On a aussi bien sûr les deux autres égalités \(I_2=\mbox{bar}\{A(a),C(c)\}\) et \(I_3=\mbox{bar}\{A(a),B(b)\}\) où \(I_2\) et \(I_3\) sont les points d’intersection des deux autres bissectrices avec \((AC)\) et \((AB)\) respectivement. Soit alors \(I'=\mbox{bar}\{A(a),B(b),C(c)\}\). D’après le théorème du barycentre partiel, on a

\[I'=\mbox{bar}\{A(a),I_1(b+c)\}=\mbox{bar}\{B(b),I_2(a+c)\}=\mbox{bar}\{C(c),I_3(a+b)\},\] ce qui montre que \(I'\) est sur \((AI_1)\), \((BI_2)\) et \((CI_3)\), c’est-à-dire sur les trois bissectrices. Par suite, \(I'=I\).

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