(a) Soit \(G\) un groupe et \(H\) un sous-groupe distingué de \(G\). On note \(\varphi\) la surjection canonique \(\varphi : G \rightarrow G/H\). Montrer que l’ordre d’un élément \(x\) de \(G\) est un multiple de l’ordre de \(\varphi (x)\).
(b) Pour tout \(x\in G\) on pose \(\tau _x\) l’application de \(G\) dans \(G\) définie par \(\tau _x(y)=xyx^{-1}\). Montrer que \(\tau _x\) est un automorphisme de \(G\) et que l’application \[x\rightarrow \tau _x\] est un morphisme de groupes de \(G\) dans \(\hbox{\rm Aut}(G)\). Quel est le noyau de ce morphisme?
(c) On suppose que \(G\) est fini et que \(H\) est un sous-groupe distingué dont l’ordre est le plus petit nombre premier \(p\) divisant l’ordre de \(G\). Montrer que pour tout \(x\in G\) l’ordre de la restriction à \(H\) de \(\tau _x\) est un diviseur de \(p-1\) et de l’ordre de \(G\). En déduire que \(\tau _x\) restreint à \(H\) est l’identité pour tout \(x\) et donc que \(H\) est contenu dans le centre de \(G\).