Pour éviter des raisonnements topologiques, supposons dans un premier temps que \(\Omega\) soit un disque, par exemple le disque unité \(\Omega =D =D (0,1)\), et montrons que \(f\) est constante et égale à \(f(0)\). Si \(z\in D\), alors le segment \([0,z]\subset D\) (et c’est pour cette raison que l’on a pris \(\Omega =D\)). On peut écrire \[f(z)-f(0)=\int_0^z f'(z) \, dz =0.\] Seulement, ici il faut expliquer le sens de cette intégrale (non connue pour l’instant). Soit \(\gamma : [0,1]\to [0,z]\), \(\gamma (t)=tz\), une paramérisation du segment \([0,z]\). Alors, \[\begin{aligned} \int _{0} ^z f'(w)\, dw &= \int _0^1 f'(\gamma (t)) \gamma '(t) \, dt = \int _0^1 f'(tz)z\, dt\\ &= \int _0^1 \Re \big( f'(tz)z\big) \, dt + i \int _0^1 \Im \big( f'(tz)z\big) \, dt =0. \end{aligned}\] Pour le cas d’un ouvert connexe \(\Omega\) quelconque le précédent raisonnement montre qu’au voisinage de tout point \(z_0\in \Omega\) la fonction \(f\) est constante. C’est donc une propriété ouverte. Autrement dit, si \(z_0\in \Omega\) est un point quelconque, l’ensemble \[\mathcal{E} =\{z\in \Omega \, ; \;\; f(z)=f(z_0)\}\] est un ouvert. Pour conclure il faut établir que \(\mathcal{E}\) est aussi un fermé de \(\Omega\) (topologie induite!!). Or ceci est évident puisque \(\mathcal{E} =f^{-1} (\{f(z_0)\})\) et \(f\) est continue. Notons que \(\mathcal{E} \neq \emptyset\) puisque \(z_0\in \mathcal{E}\). Les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés du connexe \(\Omega\) étant l’ensemble vide et \(\Omega\), on a \(\Omega = \mathcal{E}\). La fonction \(f\) est constante sur \(\Omega\). Si \(\Omega\) n’est pas connexe, \(f\) peut prendre différentes valeurs sur les différentes composantes connexes de \(\Omega\).

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