Pour \(n\geq2\), on a

\[\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}k!=1+\frac{1}{n}+\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}.\]

Mais, pour \(0\leq k\leq n-2\), \(\frac{k!}{n!}=\frac{1}{n(n-1)...(k+1)}\leq\frac{1}{n(n-1)}\) (le produit contenant au moins les deux premiers facteurs. Par suite,

\[0\leq\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}\leq\frac{n-2}{n(n-1)}.\]

On en déduit que \(\sum_{k=0}^{n-2}\frac{k!}{n!}\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Comme \(\frac{1}{n}\) tend aussi vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), on en déduit que \(\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}k!\) tend vers \(1\) et donc que

\[\sum_{k=0}^{n}k!\sim n!.\]

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