\[x^y=y^x \Leftrightarrow e^{y\ln x}= e^{x\ln y} \Leftrightarrow {y\ln x}= {x\ln y}\Leftrightarrow \frac{\ln x}{x}= \frac{\ln y}{y}\] (la fonction exponentielle est bijective). Etudions la fonction \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\) sur \([1,+\infty[\). \[f'(x)= \frac{1-\ln x}{x^2},\] donc \(f\) est croissante sur \([1,e]\) et décroissante sur \([e,+\infty[\). Donc pour \(z \in ]0,f(e)[=]0,1/e[\), l’équation \(f(x)=z\) a exactement deux solutions, une dans \(]1,e[\) et une dans \(]e,+\infty[\).

Revenons à l’équation \(x^y=y^x\) équivalente à \(f(x)=f(y)\). Prenons \(y\) un entier, nous allons distinguer trois cas : \(y=1\), \(y=2\) et \(y \geq 3\). Si \(y=1\) alors \(f(y)=z=0\) on doit donc résoudre \(f(x)=0\) et alors \(x=1\). Si \(y=2\) alors il faut résoudre l’équation \(f(x) = \frac{\ln 2}{2} \in ]0,1/e[\). Alors d’après l’étude précédente, il existe deux solutions une sur \(]0,e[\) qui est \(x=2\) (!) et une sur \(]e,+\infty[\) qui est \(4\), en effet \(\frac {\ln 4}4= \frac {\ln 2}2\). Nous avons pour l’instant les solutions correspondant à \(2^2=2^2\) et \(2^4=4^2\).

Si \(y \geq 3\) alors \(y> e\) donc il y a une solution \(x\) de l’équation \(f(x)=f(y)\) dans \(]e,+\infty[\) qui est \(x=y\), et une solution \(x\) dans l’intervalle \(]1,e[\). Mais comme \(x\) est un entier alors \(x=2\) (c’est le seul entier appartenant à \(]1,e[\)) c’est un cas que nous avons déjà étudié conduisant à \(4^2 = 2^4\).

Conclusion : les couples d’entiers qui vérifient l’équation \(x^y=y^x\) sont les couples \((x,y=x)\) et les couples \((2,4)\) et \((4,2)\).

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