Pour \(x\) réel donné, la fonction \(t\mapsto|t-x|f(t)\) est continue sur \([a,b]\) et donc \(F(x)\) existe. Pour \(x\leq a\), \(F(x)=\int_{a}^{b}(t-x)f(t)\;dt=-x\int_{a}^{b}f(t)\;dt+\int_{a}^{b}tf(t)\;dt\). \(F\) est donc de classe \(C^1\) sur \(]-\infty,a]\) en tant que fonction affine et, pour \(x<a\), \(F'(x)=-\int_{a}^{b}f(t)\;dt\) (en particulier \(F'_g(a)=-\int_{a}^{b}f(t)\;dt\))..

De même, pour \(x\geq b\), \(F(x)=x\int_{a}^{b}f(t)dt-\int_{a}^{b}tf(t)\;dt\). \(F\) est donc de classe \(C^1\) sur \([b,+\infty[\) en tant que fonction affine et, pour \(x\geq b\), \(F'(x)=\int_{a}^{b}f(t)\;dt\) (en particulier \(F'_d(b)=\int_{a}^{b}f(t)\;dt\)).

Enfin, si \(a\leq x\leq b\),

\[F(x)=\int_{a}^{x}(x-t)f(t)\;dt+\int_{x}^{b}(t-x)f(t)\;dt=x(\int_{a}^{x}f(t)\;dt-\int_{x}^{b}f(t)\;dt)-\int_{a}^{x}tf(t)\;dt+\int_{x}^{b}tf(t)\;dt.\]

\(F\) est donc de classe \(C^1\) sur \([a,b]\) et, pour \(a\leq x\leq b\),

\[\begin{align*}\ensuremath F'(x)&=\int_{a}^{x}f(t)\;dt-\int_{x}^{b}f(t)\;dt+x(f(x)-(-f(x)))-xf(x)-xf(x)\\ &=\int_{a}^{x}f(t)dt-\int_{x}^{b}f(t)\;dt. \end{align*}\]

(et en particulier, \(F'_d(a)=-\int_{a}^{b}f(t)\;dt=F'_g(a)\) et \(F'_g(b)=\int_{a}^{b}f(t)\;dt=F'_d(b)\)).

\(F\) est continue \(]-\infty,a]\), \([a,b]\) et \([b,+\infty[\) et donc sur \(\Rr\). \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(]-\infty,a]\), \([a,b]\) et \([b,+\infty[\). De plus, \(F'_g(a)=F'_d(a)\) et \(F'_g(b)=F'_d(b)\). \(F\) est donc de classe \(C^1\) sur \(\Rr\).

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