Pour \(x\in[0,\pi]\), posons \(f(x)=\tan x+\tan(2x)+\tan(3x)+\tan(4x)\).

\[\begin{align*} f(x)\;\mbox{existe}&\Leftrightarrow\tan x,\;\tan(2x),\;\tan(3x)\;\mbox{et}\;\tan(4x)\;\mbox{existent}\\ &\Leftrightarrow(x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(2x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(3x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz)\;\mbox{et}\; (4x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz)\\ &\Leftrightarrow(x\notin\frac{\pi}{2}+\pi\Zz),\;(x\notin\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\Zz),\;(x\notin\frac{\pi}{6}+ \frac{\pi}{3}\Zz)\;\mbox{et}\;(x\notin\frac{\pi}{8}+\frac{\pi}{4}\Zz)\\ &\Leftrightarrow x\notin\left\{\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8}, \frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8},\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{8}\right\}. \end{align*}\] \(f\) est définie et continue sur

\[\left[0,\frac{\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{6}\right[\cup\left]\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{3\pi}{8},\frac{\pi}{2}\right[\cup\left]\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{5\pi}{8}, \frac{3\pi}{4}\right[\cup\left]\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{6}\right[\cup\left]\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{8}\right[\cup\left]\frac{7\pi}{8},\pi\right].\] Sur chacun des dix intervalles précédents, \(f\) est définie, continue et strictement croissante en tant que somme de fonctions strictement croissantes. La restriction de \(f\) à chacun de ces dix intervalles est donc bijective de l’intervalle considéré sur l’intervalle image, ce qui montre déjà que l’équation proposée, que l’on note dorénavant \((E)\), a au plus une solution par intervalle et donc au plus dix solutions dans \([0,\pi]\). Sur \(I=\left[0,\frac{\pi}{8}\right[\) ou \(I=\left]\frac{7\pi}{8},\pi\right]\), puisque \(f(0)=f(\pi)=0\), \((E)\) a exactement une solution dans \(I\). Ensuite, dans l’expression de somme \(f\), une et une seule des quatre fonctions est un infiniment grand en chacun des nombres considérés ci-dessus, à l’exception de \(\frac{\pi}{2}\). En chacun de ces nombres, \(f\) est un infiniment grand. L’image par \(f\) de chacun des six intervalles ouverts n’ayant pas \(\frac{\pi}{2}\) pour borne est donc \(]-\infty,+\infty[\) et \((E)\) admet exactement une solution dans chacun de ces intervalles d’après le théorème des valeurs intermédiaires. Ceci porte le total à \(6+2=8\) solutions. En \(\frac{\pi}{2}^-\), \(\tan x\) et \(\tan(3x)\) tendent vers \(+\infty\) tandis que \(\tan(2x)\) et \(\tan(4x)\) tendent vers \(0\). \(f\) tend donc vers \(+\infty\) en \(\frac{\pi}{2}^-\), et de même \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(\frac{\pi}{2}^+\). L’image par \(f\) de chacun des deux derniers intervalles est donc encore une fois \(]-\infty,+\infty[\). Finalement,

\((E)\;\text{admet exactement dix solutions dans}\;[0,\pi].\)

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