On considère la fonction \(f\) définie sur \(\R\) par : \(f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+3\) ; ainsi que la suite \((u_n)_{n\geq 0}\) définie par : \(u_0=2,5\) et, pour tout \(n\geq 0\), \(u_{n+1}=f(u_n)\).
1
Mettre \(f(x)\) sous forme canonique.
2
Montrer que l’intervalle \([2,3]\) est stable par \(f\).
3
Montrer que pour tout \(n\geq 0\), \(u_n\in [2;3]\).
4
Étudier le signe de \(f(x)-x\).
5
Étudier le sens de variation de \((u_n)_{n\geq 0}\).
6
Montrer que \((u_n)_{n\geq 0}\) est convergente puis déterminer sa limite.